Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstärke H und der elektrischen Stromdichte J her und erlaubt die räumliche Berechnung magnetischer Feldstärkenverteilungen anhand der Kenntnis der räumlichen Stromverteilungen. Hier wird das Gesetz als Beziehung zwischen der magnetischen Flussdichte B und der elektrischen Stromdichte J behandelt.

Bemerkung: In speziellen Fällen, dies sind beispielsweise magnetisch lineare und isotrope Stoffe oder auch im Vakuum, besteht zwischen der magnetischen Flussdichte und der Feldstärke der Zusammenhang B = μ H mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor μ, der magnetischen Leitfähigkeit oder Permeabilität. Im allgemeinen Fall (z.B. Magnete) kann hingegen die magnetische Leitfähigkeit μ eine Funktion der magnetischen Feldstärke oder der räumlichen Orientierung sein, womit sich deutlich kompliziertere und unter Umständen analytisch nicht mehr darstellbare Zusammenhänge ergeben können.

Benannt wurde dieses Gesetz nach den beiden französischen Mathematikern Jean-Baptiste Biot und Félix Savart. Es stellt neben dem ampèreschen Gesetz eines der Grundgesetze der Magnetostatik, eines Teilgebiets der Elektrodynamik, dar.

Formulierung

Ein Stromleiter der infinitesimalen Länge dl am Ort r′, der von einem Strom I durchflossen wird, erzeugt am Ort r die magnetische Flussdichte dB (unter Verwendung des Kreuzprodukts):

$\mathrm{d}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\,I\,\mathrm{d}\boldsymbol{l} \times \frac{\boldsymbol r - \boldsymbol r'}{|\boldsymbol r - \boldsymbol r'|^3}$ .

Die gesamte magnetische Flussdichte ergibt sich durch Aufsummieren aller vorhandenen infinitesimalen Stücke, also durch Integrieren. Das entstehende Wegintegral kann man unter Benutzung von

$I\,\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \boldsymbol{v}\,\mathrm{d}q = \boldsymbol{v} \rho\,\mathrm{d}V = \boldsymbol{J}\,\mathrm{d}V$

in ein Volumenintegral umformen, wobei J die elektrische Stromdichte ist. Somit erhält man die integrale Form des biot-savartschen Gesetzes:

$\boldsymbol B(\boldsymbol r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\boldsymbol J(\boldsymbol{r}')\times\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol r-\boldsymbol{r}'|^3}\;\mathrm{d}{V'}$ .

Diese beiden Formeln ähneln (mit Strömen statt Ladungen) dem coulombschen Gesetz, das die Gestalt des elektrischen Feldes in Abhängigkeit von einer Ladungsverteilung beschreibt.

In den beiden obigen Formeln wurde dabei vernachlässigt, dass die Stromleiter einen endlichen Querschnitt haben. In vielen realen Anwendungen ist dieser im Vergleich zur Ausdehnung des Magnetfeldes aber auch tatsächlich ohne Bedeutung. Eine weitere Ungenauigkeit besteht darin, dass sich der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot-Savart-Gesetz nicht berücksichtigt. Es ist daher nur für stationäre Ströme streng gültig und für Punktladungen in guter Näherung, sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist.

Ableitung aus den Maxwellgleichungen

Im Folgenden werden Retardierungseffekte vernachlässigt und der zeitlich konstante Fall in Form der Magnetostatik betrachtet. Aus den Maxwellgleichungen folgt dann die Poissongleichung für das Vektorpotential $\boldsymbol{A}$ :

$\Delta \boldsymbol{A} (\boldsymbol{r})=-\mu_0 \boldsymbol{J} (\boldsymbol{r})$

mit der Lösung :

$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})= \frac {\mu_0}{4 \pi} \int d^3r'\,\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}$

Damit folgt für die magnetische Flussdichte:

$\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} = \frac {\mu_0}{4 \pi} \int d^3r'\, \nabla \times \left(\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\right)$

Mit Hilfe der Formeln $\nabla \times (\phi \boldsymbol{J}) = \phi (\nabla \times \boldsymbol{J}) - \boldsymbol{J} \times (\nabla \phi)$ für die Anwendung des rot-Operators $\nabla \times$ auf ein Produkt aus skalarer Funktion und Vektorfunktion und

$\nabla \phi =\nabla \left(\frac {1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\right) = - \frac {\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'}{{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}^3}$

folgt das Endergebnis, wenn man berücksichtigt, dass $\nabla \times$ im Integral nur auf die Variable r und nicht auf r' wirkt. Häufig ist es vorteilhafter, das Vektorpotential zu berechnen und daraus die magnetische Flussdichte.

Zum selben Ergebnis kommt man, indem man die Helmholtz-Zerlegung und die Maxwellgleichungen für den statischen Fall benutzt.

Anwendung

Kreisförmige Leiterschleife

Magnetfeld in einer Stromschleife

Der Betrag der magnetischen Feldstärke einer kreisförmigen Leiterschleife kann mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes auf der Symmetrieachse senkrecht zur Leiterschleife geschlossen angegeben werden:

$B\left(x\right) = \frac{I \mu_0}{2}\,\frac{r_Q^2}{\left(r_Q^2 + x^2 \right)^{3/2}}$

Dabei ist r_Q der Radius der in der -->-Ebene liegenden Leiterschleife, und der Abstand des Beobachtungspunktes vom Zentrum der Leiterschleife. Das Feld ist in -Richtung gerichtet.

Durch die Substitution

$\tan\alpha = \frac{r_Q}{x}$

erhält man daraus

$B\left(\alpha\right) = \frac{I \mu_0}{2\,r_Q}\,\sin^3{\alpha}.$

Im Fall $\left\|\mathbf{r}_Q \right\| \ll \left\|x\right\|$ kann das Feld der Leiterschleife als Dipolfeld behandelt werden: Beispielsweise zeigt es für Punkte auf der -Achse für große Abstände (große ) eine $\frac {1}{x^3}$ -Abhängigkeit:

$B = \frac{\mu_0 m}{2 \pi \, x^3}$

mit dem magnetischen (Dipol-) Moment $m = I \pi r_Q^2$ (Strom × Fläche der Leiterschleife).

Abhängigkeiten zur Berechnung der Flussdichte B in einem Punkt P neben einer Stromschleife

Flussdichte B in Abhängigkeit vom Radius r_a entlang der Achse der Leiterschleife

Abseits der Symmetrieachse beträgt das Magnetfeld (in Zylinderkoordinaten $\rho$ , $\varphi$ , )

$\mathbf{B}(\rho, x) = \frac{I\mu_0}{2\pi} \frac{1}{\sqrt{(R+\rho)^2+x^2}} \ (\mathbf{\hat \rho}, \mathbf{\hat x})\cdot \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{x}{\rho}\left(\frac{R^2+\rho^2+x^2}{(R-\rho)^2+x^2}E(k^2) - K(k^2)\right) \\ \displaystyle \quad\frac{R^2-\rho^2+x^2}{(R-\rho)^2+x^2}E(k^2) + K(k^2) \end{pmatrix} \,,\qquad k^2=\frac{4R\rho}{(R+\rho)^2+x^2},$

wobei K(k^2) und E(k^2) die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art sind. Hier steht „ $\cdot$ “ für das Skalarprodukt, $\mathbf{\hat \rho}$ und $\mathbf{\hat x}$ sind Einheitsvektoren. Aus Symmetriegründen gibt es weder Abhängigkeiten noch Komponenten in $\varphi$ -Richtung.

Gerader Linienleiter

Abhängigkeiten zur Berechnung beim geraden Linienleiter

Zur Berechnung der Flussdichte B in einem Punkt P kann man die folgende Formel anwenden:

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0\,\mathbf{I}}{4\,\pi} \int{ \frac{\mathrm{d}s }{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2 } \times \frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}} }{\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ}} \right\|} }$

Umgelegt auf die Winkel erhält man

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0\, I }{4\,\pi} \, \int_{a_1}^{a_2}{ \frac{\rho \, \mathrm{d}\alpha}{ \cos^2{\alpha} } \, \frac{ \cos^2{\alpha} }{\rho^2} \, \cos{\alpha} \, \vec{e}_a}$

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0 \, I }{4\,\pi\,\rho} \, \left( \sin{\alpha_2} - \sin{\alpha_1} \right) \, \vec{e}_a$

wobei verwendet wurde

$n + s = \rho\,\tan{\alpha}$

$\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ}} \right\| = \frac{\rho}{\cos{\alpha}}$

$\mathrm{d}s = \rho\,\mathrm{d}(\tan\alpha)=\frac{\rho\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2{\alpha}}$

$\vec{e}_a$ ist der Einheitsvektor senkrecht der Ebene, in der P und der Leiter liegen (Richtung nach den Regeln des Kreuzprodukts).

Unendlich langer gerader Linienleiter

B-Feld eines geraden Leiters

Für das Magnetfeld eines geraden, unendlich langen Leiters längs der z-Achse ergibt das obige Linienintegral

$\mathbf{B}\left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0\,I}{2\,\pi\,\rho}\,\vec{e}_\phi$ ,

wobei $\rho$ der senkrechte Abstand zur z-Achse und $\vec e_\phi$ der Einheitsvektor bezüglich des Winkels $\phi$ der zugehörigen Zylinderkoordinaten ist. Das Magnetfeld bildet damit konzentrische Kreise um den Leiter und nimmt umgekehrt proportional zum Abstand vom Leiter ab. In vektorieller Form erhält man:

$\mathbf{B}\left( \mathbf{P} \right) = - \frac{\mu_0\,\mathbf{I}}{2\,\pi}\times\frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}}{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2}$

Rahmenspule

Abhängigkeiten zur Berechnung der Rahmenspule

Nach der runden Spule ist die Rahmenspule (mit N Windungen) die am häufigsten verwendete Variante. Die Formel für das Magnetfeld im Zentrum kann aus der Formel für den Linienleiter abgeleitet werden, indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt.

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0\,N\,I}{4\,\pi}\,2\,\left( \frac{2\,\sin{\alpha}}{\frac{a}{2}} + \frac{2\,\sin{\beta}}{\frac{b}{2}} \right) \,\vec{e}_x$

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0\,N\,I}{4\,\pi}\,8\,\left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right)^\frac{1}{2} \,\vec{e}_x$

mit

$\sin{\alpha} = \frac{b}{\left( a^2 + b^2 \right)^\frac{1}{2}}$

$\sin{\beta} = \frac{a}{\left( a^2 + b^2 \right)^\frac{1}{2}}$

Für das Magnetfeld auf der x-Achse, in großem Abstand von der Spule, ergibt sich:

$B = \frac{\mu_0\,N\,I \,a \,b}{2\,\pi x^3}$

Also wieder eine Abhängigkeit wie beim Dipol. Mit magnetischem Moment $\,m = \,N I a b$ geschrieben:

$B = \frac{\mu_0 m} {2\,\pi x^3}$

Siehe auch

Magnetismus

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de