Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac), mit Index definiert als

F_{j}(x)={\frac  {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac  {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,dt

wobei \Gamma (x) die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

F_{j}(x,b)={\frac  {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac  {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,dt

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral F_{{1/2}}(x) berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen t:={\tfrac  {E-E_{{c}}}{kT}} sowie x:={\tfrac  {\mu -E_{{c}}}{kT}}, sodass {\mathrm  {d}}E=kT\,{\mathrm  {d}}t:

n=N\int _{{E_{{c}}}}^{{\infty }}{\frac  {{\sqrt  {E-E_{{c}}}}}{\exp \left({\frac  {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,{\mathrm  {d}}E=N\left(kT\right)^{{{\frac  {3}{2}}}}{\frac  {{\sqrt  {\pi }}}{2}}{\frac  {2}{{\sqrt  {\pi }}}}\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac  {{\sqrt  {t}}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,{\mathrm  {d}}t=N\left(kT\right)^{{{\frac  {3}{2}}}}{\frac  {{\sqrt  {\pi }}}{2}}F_{{1/2}}(x)

Näherung für F1/2

Das Integral F_{{1/2}}(x) lässt sich für verschiedene Wertebereiche von x näherungsweise lösen:

{\tilde  {F}}_{{1/2}}(x)={\begin{cases}{\frac  {1}{e^{{-x}}+0.27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1.3\\{\frac  {4}{3{\sqrt  {\pi }}}}\left(x^{{2}}+{\frac  {\pi ^{{2}}}{6}}\right)^{{3/4}}&{\text{wenn }}\ \,1.3\leq x<\infty \end{cases}}

Der relative Fehler dieser Näherungslösung \left({\tilde  {F}}_{{1/2}}(x)-F_{{1/2}}(x)\right)/F_{{1/2}}(x) beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei x=0 und bei x=1.3). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich F_{{1/2}}(x) durch zwei Funktionen annähern:

F_{{1/2}}(x)\approx e^{{x}}   für   -x\gg 1
F_{{1/2}}(x)\approx {\frac  {4}{3{\sqrt  {\pi }}}}x^{{3/2}}   für   x\gg 1

Darstellung mit Polylogarithmen

Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

{\mathrm  {F}}_{j}(x)=-{\mathrm  {Li}}_{{j+1}}(-e^{x}).

Wegen

{\frac  {{\mathrm  d}}{{\mathrm  d}x}}{\mathrm  {Li}}_{n}(x)={\frac  1x}{\mathrm  {Li}}_{{n-1}}(x)

folgt daraus

{\frac  {{\mathrm  d}}{{\mathrm  d}x}}{\mathrm  {F}}_{j}(x)={\mathrm  {F}}_{{j-1}}(x).
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 26.12. 2021