Physikalische Größe
Name dynamische Viskosität
Formelzeichen der Größe \eta (selten auch \mu )
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Pa·s
= kg·m−1·s−1 = N·s·m−2
M·L−1·T−1
CGS P := 1 dyn·s/cm2 = 0,1 Pa·s  

Viskosität

Die Viskosität ist ein Maß für die Zähflüssigkeit eines Fluids. Der Kehrwert der Viskosität ist die Fluidität, ein Maß für die Fließfähigkeit eines Fluids. Je größer die Viskosität, desto dickflüssiger (weniger fließfähig) ist das Fluid; je niedriger die Viskosität, desto dünnflüssiger (fließfähiger) ist es, kann also bei gleichen Bedingungen schneller fließen.

Normalerweise wird mit dem Begriff Viskosität die Viskosität in Scherung verbunden, es ist allerdings auch möglich, die Viskosität in Dehnung zu messen.

Teilchen zäher Flüssigkeiten sind stärker aneinander gebunden und somit weniger beweglich; man spricht daher auch von der inneren Reibung. Sie resultiert nicht nur aus den Anziehungskräften zwischen den Teilchen des Fluids (Kohäsion).

Physikalische Größe
Name kinematische Viskosität
Formelzeichen der Größe \nu
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI m2·s−1 L2·T−1
CGS St := 1 cm2/s = 10−4 m2/s  
Anglo-
amerikanisch
1 ft2/s = 0,092 903 04 m2/s  

Die Viskosität von Feststoffen ist generell sehr hoch (und damit schwer bestimmbar), stattdessen werden häufig Begriffe wie Duktilität, Sprödigkeit und Plastizität verwendet.

In der Rheologie stellt die Viskosität eine zentrale Größe dar. Sie hat Bedeutung in praktisch allen Bereichen wo Fluide eingesetzt werden oder vorkommen, also z.B. bei Farben, Lacken, Kunststoffen, Lebensmitteln wie Teige und Puddings, aber auch in der Medizin (Blut).

Der Begriff Viskosität geht auf den typisch zähflüssigen Saft der Beeren in der Pflanzengattung Misteln (Viscum) zurück. Aus diesen Misteln wurde der Vogelleim gewonnen. „Viskos“ bedeutet also „klebrig, zäh wie Vogelleim“.

Dynamische Viskosität oder absolute Viskosität. \eta ist Proportionalitätsfaktor im Newtonschen Schubspannungsansatz für Flüssigkeiten und wird angegeben in Pa · s = kg · m-1 · s-1.
Die kinematische Viskosität. \nu ist die dynamische Viskosität bezogen auf die Dichte und wird angegeben in m2 · s-1.


Physikalische Größe
Name Fluidität
Formelzeichen der Größe \phi
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI m·s·kg−1 = m2·N−1·s−1 L·T·M−1

Zusammenhang der drei Größen

Man unterscheidet zwischen der dynamischen und der kinematischen Viskosität. Die dynamische Viskosität \eta und die kinematische Viskosität \nu stehen über die Dichte \rho in direktem Zusammenhang. Die Fluidität \phi ist der Kehrwert der dynamischen Viskosität:

\eta=\nu \cdot \rho=\frac{1}{\phi}

Einheiten

Im SI-Einheitensystem gilt: Ein Stoff, der sich zwischen zwei Platten befindet, hat die Viskosität 1 N·s/m², wenn bei einer Größe der Platten von 1 m² und einem Plattenabstand von 1 m eine Kraft von 1 N benötigt wird, um die Platten mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s gegeneinander zu verschieben. Für die physikalische Einheit der dynamischen Viskosität gilt also:

1{\rm N}=[\eta] \cdot\left(\frac{{\rm m}^2\,{\rm m}}{{\rm m}\,{\rm s}}\right) \Rightarrow [\eta] = \frac{{\rm N}\cdot{\rm s}}{{\rm m}^2} = \mathrm {\frac{kg}{m \cdot s}} = {\rm 1 Pa \cdot s}.

Die Einheit der Fluidität ist entsprechend:

\left[\phi \right]=\mathrm{\frac {m^2}{N\cdot s} }

Für die SI-Einheit der kinematischen Viskosität gilt:

[\nu] = \frac{\rm m^2}{\rm s}

In der Praxis wird für die dynamische Viskosität neben der Pa·s (Pascalsekunde) außerdem der tausendste Teil der SI-Einheit mPa·s (Millipascalsekunde) für Medien niedriger Viskosität verwendet.

Im CGS-System wird die dynamische Viskosität in Poise (P) gemessen, wobei 1 Ns/m2 = 1 Pa·s = 10 Poise = 1000 Centipoise = 1000 cP = 1 kg/ms, und die kinematische Viskosität in Stokes (St), 1 St = 10−4 m2/s.

Das Engler-Grad ist eine veraltete Einheit für die Viskosität. Diese Einheit gibt die Viskosität im Vergleich zu Wasser an.

Modellvorstellung zur Viskosität: Links eine Veranschaulichung zum Geschwindigkeitsgradient (2), sowie die Form des Gradienten für den Betrag der Geschwindigkeit (gestrichelt). Rechts eine Veranschaulichung für die verzahnten Molekülschichten (1).

Viskosität von Flüssigkeiten

Den Effekt innerer Reibung kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen (siehe Abb. Punkt 1). Beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei, und um die Verzahnung zu überwinden, benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften des vorliegenden Fluids definiert die Viskosität.
Erkennbar wird dieser Zusammenhang besonders gut an der homologen Reihe der Alkane (kettenförmige Kohlenwasserstoffe), hier steigt die Viskosität mit der Kettenlänge und damit den zunehmenden intermolekular wirkenden Van-der-Waals-Kräften kontinuierlich an. Bei den mittleren Alkanen (ab Nonan, neun C-Atome) hat sie bereits einen Wert ähnlich dem von Wasser.

Sehr gut veranschaulichen kann man sich die Viskosität auch an folgendem Beispiel: gleitet Wind über das Wasser eines Ozeans, erzeugt dies eine Bewegung der Wasserschicht an der Oberfläche. Je tiefer man nun taucht, desto ruhiger wird das Wasser, bis man einen Punkt erreicht, wo keine Strömung herrscht. Die einzelnen Flüssigkeitsschichten bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit v, es entsteht ein Geschwindigkeitsgradient (siehe Abb. Punkt 2).

Definition der Viskosität

Definition der Viskosität: Das Fluid (blau) wird zwischen ruhender Platte (unten) und bewegter Platte (oben) geschert.

Man stelle sich zwei im Abstand d parallel angeordnete Platten der Fläche A vor. Zwischen diesen Platten befindet sich eine Flüssigkeit, die an beiden Platten haftet. In unserer Vorstellung soll der Raum mit der Flüssigkeit in Schichten unterteilt sein. Wird nun die obere Platte mit der Geschwindigkeit v bewegt, so bewegt sich die Schicht in unmittelbarer Nachbarschaft auf Grund der Haftung ebenfalls mit der Geschwindigkeit v. Da die untere Platte ruht, ruht auch ihre Nachbarschicht. Die innenliegenden Flüssigkeitsschichten gleiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aneinander vorbei. Die Geschwindigkeit nimmt von der ruhenden Platte zur bewegten zu.

Von der obersten, an der Platte haftenden Schicht geht eine Tangentialkraft auf die darunterliegende Schicht aus. Diese bewegt sich folglich mit der Geschwindigkeit v_1. Diese Schicht wirkt wiederum auf die darunterliegende Schicht und bewegt sie mit der Geschwindigkeit v_2.

Im Experiment lässt sich zeigen, dass im Idealfall die Kraft F, die nötig ist, um die obere Platte zu bewegen, proportional zur Fläche A, dem Geschwindigkeitsunterschied \Delta v und antiproportional zum Abstand der Platten \Delta y ist:

F \sim A und F \sim \Delta v und F \sim \frac{1}{\Delta y}

Hieraus ergibt sich die Gleichung

F= \eta A \frac{\Delta v}{\Delta y}

Die Proportionalitätskonstante \eta ist die dynamische Viskosität. Die Änderung der Geschwindigkeit senkrecht zur Bewegungsrichtung, also der Geschwindigkeitsgradient

\dot\gamma = \frac{\Delta v}{\Delta d} = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}

auch mit D oder G bezeichnet, wird Verformungsgeschwindigkeit oder Schergeschwindigkeit genannt. Mit der Schubspannung

\tau=\frac{F}{A}

ergibt sich der Zusammenhang

\tau =\eta\cdot\dot\gamma

Newtonsche Fluide

Handelt es sich um sehr dünne Fluidschichten, so ist der Geschwindigkeitsverlauf linear, wie in obiger Herleitung. Dieser Zusammenhang wurde bereits 1687 von Isaac Newton unterstellt:

“The resistance which arises from the lack of slipperiness originating in a fluid – other things being equal – is proportional to the velocity by which the parts of the fluid are being separated from each other.”

„Der Widerstand, der durch den Mangel an Gleitfähigkeit innerhalb einer Flüssigkeit entsteht, ist – vorausgesetzt, dass alle anderen Bedingungen gleich bleiben – proportional zu der Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeitsteilchen voneinander getrennt werden.“

– Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm:
1: dilatantes Fluid
2: Newtonsches Fluid
3: Scherverdünnendes (pseudoplastisches) Fluid
4: Bingham-plastisches Fluid
5: Casson-plastisches Fluid

Flüssigkeiten, die diesem linearen Zusammenhang folgen, werden deswegen als newtonsche Fluide bezeichnet. Ist \eta von v abhängig, so bezeichnet man die Flüssigkeit als nicht-newtonsch. Beim newtonschen Viskositätsgesetz wird stets laminare Strömung sowie Temperatur- und Druckunabhängigkeit der Flüssigkeitseigenschaften angenommen. Für diese Stoffe stellt sich das im Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm gezeigte, lineare Geschwindigkeitsprofil ein (Kurve 2: Newtonsches Fluid).

In den rheologischen Modellen wird das newtonsche Verhalten durch das Newton-Element, einem Dämpfungszylinder ähnlich einem Stoßdämpfer, dargestellt.

Nicht-newtonsche Fluide

Viele Substanzen folgen diesem Gesetz jedoch nicht, sondern zeigen ein zeit- oder schergeschwindigkeitsabhängiges Verhalten. Dabei unterscheidet man verschiedene Arten der Abweichung:

Im allgemeinen Fall muss das Schergefälle \dot\gamma aus dem Scherwinkel in der Flüssigkeit berechnet werden und nicht über den Geschwindigkeitsgradienten. Das Verhältnis \frac{\tau}{\dot\gamma} wird in diesem Fall auch scheinbare Viskosität genannt.

Viskoelastische Materialien können mit der komplexen Viskosität, bei der von einer sinusförmigen Scherung ausgegangen wird, beschrieben werden.

Typische nicht-newtonsche Fluide sind Blut und Ketchup.

Temperaturabhängigkeit

Die dynamische Viskosität der meisten Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur ab und kann oft mit der Arrhenius-Andrade-Beziehung beschrieben werden:

\eta = \eta_0 \cdot e^{\frac{E_\mathrm A}{R \cdot T}}

mit

Bei Flüssigkeiten in der Nähe (d.h. bis ca. 100 K über) der Glasübergangstemperatur gilt meist die Williams-Landel-Ferry-Gleichung (WLF-Beziehung). Hier dominiert nämlich das sehr geringe freie Volumen, das in der Nähe der Glasübergangstemperatur viel stärker von der Temperatur abhängt als die Kettenbeweglichkeit, die hinter der Arrhenius-Andrade-Beziehung steht.

Die Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der Temperatur wird bei Ölen durch den Viskositätsindex beschrieben.

Messung

Messanordnungen von links nach rechts: koaxiale Zylinder, Platte-Platte, Kegel-Platte; bewegter Teil in Orange, unbewegter Teil in Dunkelblau, Fluid in Hellblau

Die Viskosität von Flüssigkeiten kann mit einem Viskosimeter gemessen werden. Ein Rheometer ermöglicht es, darüber hinaus noch weitere rheologische Eigenschaften, auch von Festkörpern, zu bestimmen. Bei beiden Gerätetypen wird entsprechend der Viskositätsdefinition die zu messende Probe im Spalt zwischen zwei Körpern (z.B. zwei koaxialen Zylindern oder zwei parallelen Platten) eingebracht. Ein Teil der Anordnung rotiert oder oszilliert mit definierter Geschwindigkeit, während der andere ruht. Aus der Geometrie der Messanordnung und der Geschwindigkeit des bewegten Teiles ergibt sich die Schergeschwindigkeit. Das zur Aufrechterhaltung der Bewegung notwendige Drehmoment wird gemessen, woraus sich dann die Schubspannung und damit die Viskosität ermitteln lässt.

Eine schnelle und einfache, aber auch sehr ungenaue Methode der Viskositätsbestimmung ist der Auslaufbecher.

Neben der Bestimmung der Scherviskosität mittels oben beschriebener Verfahren kann die Dehnviskosität eines Stoffes beispielsweise mittels des Capillary Breakup Extensional Rheometer bestimmt werden.

Viskosität von Gasen

Viskosität verschiedener Gase bei Normaldruck
Viskosität von Stickstoff in Abhängigkeit vom Druck für verschiedene Temperaturen
Viskosität von Stickstoff in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Drücke

Für Gase lässt sich die Viskosität anhand einer mikroskopischen Betrachtung des Impulsflusses abschätzen:

 \eta = \frac{1}{3}\,n\,m\,v\,\lambda

mit der freien Weglänge \lambda für die Gasteilchen, der Masse der Gasteilchen m, der mittleren Teilchengeschwindigkeit v und der Teilchenzahldichte n.

Die Viskosität von Gasen ist bei niedrigen Drücken (≈0,1 bis 10 bar) unabhängig vom Druck. Dies gilt solange, wie die freie Weglänge klein gegenüber den Gefäßabmessungen und groß gegenüber den Molekülabmessungen ist. Mit anderen Worten: Für ein sehr dünnes oder ein sehr dichtes Gas wird die Viskosität doch wieder vom Druck beziehungsweise der Dichte des Gases abhängig.

Grundsätzlich abhängig ist die Viskosität aber von der Temperatur. Mit zunehmender Temperatur steigt die Viskosität, da die mittlere Teilchengeschwindigkeit v proportional zu T^{0{,}5} wächst (siehe unten). Dieses Verhalten ist bei den meisten Flüssigkeiten genau entgegengesetzt. Die folgende Tabelle listet zu einigen Gasen die Viskositäten und freien Weglängen auf.

Gas η (273 K) in µPa·s λ (1 atm) in nm
Luft 17,1 59,8
Sauerstoff (O2) 19,2 63,3
Kohlendioxid (CO2) 13,8 39,0
Stickstoff (N2) 16,6 58,8
Argon 21,0 62,6
Neon 29,7 124,0
Helium 18,6 174,0
Wasserstoff (H2) 8,4 111,0

Kinetische Gastheorie

Nach Hirschfelder kann die Viskosität reiner Gase mit Hilfe der kinetischen Gastheorie in einem großen Temperaturbereich (etwa von 200 bis 3000 Kelvin) berechnet werden.

 \eta = \frac{5 \cdot   \sqrt{\pi \cdot m  \cdot  k_\mathrm{B} \cdot   T}}{16 \cdot   \pi \cdot   \sigma^{2} \cdot  \Omega^{(2,2)^{\star}}}

Hierbei ist m die Molekülmasse, k_\mathrm{B} die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur, \sigma der Lennard-Jones-Stoßdurchmesser und \Omega^{(2,2)^{\star}} das reduzierte Stoßintegral, das von der reduzierten Temperatur T^{\star} = k_\mathrm{B} T / \epsilon abhängt. \epsilon ist die Energie des Lennard-Jones-Potentials. Werte für die Lennard-Jones-Parameter und das reduzierte Stoßintegral sind in Lienhards Lehrbuch zur Wärmeübertragung in Kapitel 11 aufgeführt. Das reduzierte Stoßintegral \Omega^{(2,2)^{\star}} ist so definiert, dass für ein ideales Gas, bei dem Teilchenwechselwirkungen wie Stöße harter Kugeln betrachtet werden, \Omega^{(2,2)^{\star}} = 1 gilt.

Physik des Reibungstensors

Die Viskosität begründet sich aus dem Experiment, nach dem zur Aufrechterhaltung einer Scherströmung eine Kraft erforderlich ist. Diese Kraft bewirkt einen Impulsaustausch innerhalb der Strömung bzw. mit dem Rand, weshalb sie zur Kategorie der Oberflächenkräfte zählt. Damit lässt sich diese Kraft in der allgemeinsten Form als Divergenz eines Tensors formulieren:



 \mathbf F = - \nabla \cdot \mathbb S,

wobei \mathbb S die Komponente des Spannungstensors durch die Viskosität ist und zäher Spannungstensor oder Reibungstensor heißt.

Aus dem Experiment folgt unmittelbar, dass der Reibungstensor eine Funktion der Scherung der Strömung ist:

 \mathbb S = \mathbb S ( \nabla \mathbf v )

Da keine Reibung bei homogener Strömung  ( \mathbf v = \text{const.} oder  \nabla \mathbf v = 0), enthält der Reibungstensor keine Komponenten, die unabhängig von der Scherung sind. Mit der Annahme, der Geschwindigkeitsgradient sei klein im Sinne der Hydrodynamik, wird ein linearer Ansatz zwischen der Reibung und dem Geschwindigkeitsgradienten begründet.

Weiterhin ist die innere Reibung Null, wenn sich die Strömung in starrer Rotation ( \mathbf v = \mathbf \Omega \times \mathbf r ) befindet, wobei \mathbf \Omega die konstante Winkelgeschwindigkeit ist. Die Linearkombinationen der Ableitungen der Geschwindigkeiten sind gerade die symmetrischen Komponenten von  \nabla \mathbf v:

 \frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i},

weshalb hier und im Folgenden die Einsteinsche Summenkonvention zu beachten ist.

Mit der weiteren Annahme einer isotropen Flüssigkeit werden die unmittelbaren Stoffeigenschaften durch skalare Größen beschrieben. Damit wird der Reibungstensor:



  \mathbb S = \sigma_{ij}
  = \eta \left (
    \frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}
    - \frac{2}{3} \delta_{ij} \frac{\partial v_k}{\partial x_k}
  \right )
  + \zeta \delta_{ij} \ \frac{\partial v_k}{\partial x_k}.

Hier beschreibt der erste Term die Reibung durch volumentreue Deformation (für i=j wird der Term in der Klammer Null). Der zweite Term beschreibt die innere Reibung durch Volumenänderung. Dieser Term wird für den häufigen Fall der Inkompressibilität verschwinden.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.08. 2018