Dirichletscher Approximationssatz

Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Der Satz lautet: Zu jedem $\alpha \in \mathbb{R}$ und jedem $N\in \mathbb {N}$ existieren ein $q \in \mathbb{N}, 1 \leq q \leq N$ und ein $p \in \mathbb{Z}$ , so dass

$\left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{N+1}}.$

Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch und Beachtung von q<N+1 , dass es zu jedem reellen $\alpha$ unendlich viele Paare (p,q) positiver ganzer Zahlen gibt, die

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$

erfüllen. Für rationale Zahlen $\alpha ={\tfrac {a}{b}}$ haben fast alle solche Approximationen die Form p=ka,q=kb , interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor ${\sqrt {5}}$ .

Beispiel: Sei $\alpha ={\sqrt {2}}$ und N=10 . Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen ${\sqrt {2}},2{\sqrt {2}},\dotsc ,10{\sqrt {2}}$ um höchstens 1/11 von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

$\left|5{\sqrt {2}}-7\right|=\left|7,07106\dotso -7\right|=0.07106\dotso \leq 0.090909\dotso ={\frac {1}{11}}.$

Literatur

Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.

Basierend auf einem Artikel in:

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