Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion $F:TM\rightarrow \mathbb R$ so dass für alle $v,w\in T_xM, x\in M$ gilt:

$F(v)\ge 0$ mit Gleichheit nur für
$F(\lambda v)=\lambda F(v)$ für alle $\lambda\ge 0$
$F(v+w)\le F(v)+F(w)$ .

Hierbei bezeichnet T_xM den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt $x\in M$ und das Tangentialbündel von $M,$ also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls F(-v)=F(v) für alle $v\in T_xM, x\in M$ gilt.

Beispiele

Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
Riemannsche Mannigfaltigkeiten : setze $F(v)=\sqrt{g(v,v)}$ .
Konvexe Mengen $\Omega\subset\mathbb R^n$ mit der Hilbert-Metrik $d_\Omega$ : setze $F(v)=\frac{d}{dt}\mid_{t=0}d_\Omega(x,x+tv)$ für $v\in T_x\Omega, x\in\Omega$ .

Länge und Volumen

Die Länge einer rektifizierbaren Kurve $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow M$ ist definiert durch

$L(\gamma)=\int_a^bF(\gamma^\prime(t))dt$ .

Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei $x\in M$ , $e_1,\ldots,e_n$ eine Basis von T_xM , $\eta_1,\ldots,\eta_n$ die duale Basis. Sei V(x) das euklidische Volumen von $D(x)=\left\{y\in\mathbb R^n: F(\sum_{i=1}^ny_ie_i)\le 1\right\}$ . Die Volumenform ist dann gegeben durch

$B_F(x)=\frac{C(n)}{V(x)}\eta_1\wedge\ldots\wedge\eta_n$ ,

wobei C(n) das euklidische Volumen der Einheitskugel im $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge $A\subset M$ ist definiert durch $\operatorname{vol}(A)=\int_A B_F(x)$ .

Literatur

D. Bao, S.-S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.

Basierend auf einem Artikel in:

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