Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.
Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.
Sei
ein reelles Intervall,
eine stetige Funktion und
stetig
differenzierbar. Dann ist
Sei
eine Stammfunktion von
.
Nach der Kettenregel gilt für die
Ableitung der zusammengesetzten Funktion
Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:
Berechnung des Integrals
für eine beliebige reelle Zahl :
Durch die Substitution
erhält man
und:
Berechnung des Integrals
Durch die Substitution
erhält man
bzw.
und damit
Es wird also
durch
ersetzt und
durch
.
Die untere Grenze des Integrals
wird dabei in
umgewandelt und die obere Grenze
in
.
Berechnung des Integrals
Man substituiert .
Daraus ergibt sich
.
Mit
erhält man
Das Ergebnis kann mit Partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel
und einer weiteren Substitution berechnet werden.
Unter den obigen Voraussetzungen gilt
Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.
Mit der Substitution
erhält man
Mit der Substitution
erhält man
Man beachte, dass die Substitution nur für
bzw. nur für
streng monoton ist.
Integrale mit der speziellen Form Zähler des Integranden ist Ableitung des Nenners können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden, was einen Spezialfall der Substitutionsmethode darstellt:
Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs
und
elementar integrieren.
Beispiel:
Durch die Substitution
also
,
,
und
ergibt sich:
Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden:
Für das bestimmte Integral gilt entsprechend: