Bikonditional

Venn-Diagramm von A\leftrightarrow B
Das Bikonditional ist die Negation des ausschließenden Oder und bedeutet „beide nicht oder beide“.
Dem entsprechen die roten Bereiche außerhalb und innerhalb beider Kreise.

Als Bikonditional, Bisubjunktion oder materiale Äquivalenz, manchmal (aber mehrdeutig) einfach nur Äquivalenz bezeichnet man

Schreibweise und Lesart

Als Zeichen für das Bikonditional als Junktor wird meist der Äquivalenzpfeil ↔, der dreifache Querstrich \equiv oder der Doppelpfeil mit zwei Querlinien \Leftrightarrow verwendet, gelegentlich auch die Tilde ~. (Fast jedes dieser Zeichen wird von unterschiedlichen Autoren und in unterschiedlichen Zusammenhängen auch in anderer Bedeutung verwendet, am häufigsten die Tilde für die Satzverneinung und der Doppelpfeil mit zwei Querlinien \Leftrightarrow für die metasprachliche Äquivalenz.) In der polnischen Notation wird das Bikonditional durch den Großbuchstaben E ausgedrückt.

In der natürlichen Sprache gibt es mehrere Möglichkeiten, ein Bikonditional A\leftrightarrow B auszudrücken, zum Beispiel die Formulierungen „A genau dann, wenn B“ (abgekürzt als „A gdw. B“), „A dann und nur dann, wenn B“ oder „A ist hinreichend und notwendig für B“; auch die im Englischen verwendete Formulierung „A if and only if B“ findet sich abgekürzt als „A iff B“ gelegentlich sogar in deutschsprachigen Texten. Jede dieser Formulierungen ist dazu geeignet, den Ausdruck A\leftrightarrow B zu lesen.

Bedeutung

Für die zweiwertige, wahrheitsfunktionale klassische Logik ist der Wahrheitswertverlauf (die Wahrheitstabelle) und damit die Bedeutung des Bikonditionals wie folgt durch die äq-Funktion definiert („w“ steht für „wahr“; „f“ steht für „falsch“):

P Q P\leftrightarrow Q
w w w
w f f
f w f
f f w

In der klassischen Logik sind die Aussagen A\leftrightarrow B und (A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A) (das heißt die Konjunktion des Konditionals A\rightarrow B und des Konditionals B\rightarrow A) äquivalent, das heißt, sie haben denselben Wahrheitswerteverlauf. Aus diesem Grund wird das Bikonditional oft nicht als selbstständiger Junktor eingeführt, sondern durch folgende Definition auf Konjunktion und Konditional zurückgeführt:

\varphi \leftrightarrow \psi :=(\varphi \rightarrow \psi )\land (\psi \rightarrow \varphi )

Dabei sei „:=“ das metasprachliche Zeichen für „sei definiert als“ und seien \varphi und \psi metasprachliche Satzvariablen, also Platzhalter, die für beliebige Sätze der logischen Objektsprache stehen dürfen. Als konkretes Beispiel würde der Ausdruck P\leftrightarrow (Q\land R) gemäß dieser Definition aufgelöst zu (P\rightarrow (Q\land R))\land ((Q\land R)\rightarrow P).

Obige Äquivalenz und obige Definierbarkeit zeigen insbesondere, dass das Bikonditional eine hinreichende und notwendige Bedingung ausdrückt: A\rightarrow B sagt aus, dass A eine hinreichende Bedingung für B und dass B eine notwendige Bedingung für A ist; und B\rightarrow A sagt aus, dass B eine hinreichende Bedingung für A und dass A eine notwendige Bedingung für B ist.

Beispiele

Zweideutigkeit für mehrere Argumente

Werden mehr als zwei Argumente durch ~~\leftrightarrow ~~ verbunden, ist nicht eindeutig, wie die Formel gemeint ist:

~x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \dotsb \leftrightarrow x_{n} kann die Abkürzung für ~(((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \dotsb )\leftrightarrow x_{n} sein,

oder dafür, dass alle ~x_{i}~ entweder zusammen wahr oder zusammen falsch sind: (~x_{1}\land \dotsb \land x_{n}~)~\oplus ~(\neg x_{1}\land \dotsb \land \neg x_{n})

Das ist nur für zwei Argumente das Gleiche. Die beiden Wahrheitstafeln zeigen nur in Zeilen mit zwei Argumenten das gleiche Bitmuster:

~x_{1}\leftrightarrow \dotsb \leftrightarrow x_{n}
im Sinne von
\neg ~(\neg x_{1}\oplus \dotsb \oplus \neg x_{n})

Das mittlere Venn-Diagramm unten
und Zeile (ABC  ) in dieser Matrix
stehen für die gleiche Operation.
~x_{1}\leftrightarrow \dotsb \leftrightarrow x_{n}
als Abkürzung für
(~x_{1}\land \dotsb \land x_{n}~)
\oplus ~(\neg x_{1}\land \dotsb \land \neg x_{n})

Das rechte Venn-Diagramm unten
und Linie (ABC  ) in dieser Matrix
stehen für die gleiche Operation.
 

Das linke Venn-Diagramm unten und die Zeilen (AB    ) in diesen Matrizen stehen für die gleiche Operation.

Venn-Diagramme

Rote Flächen stehen für die Wahrheit (wie beispielsweise in Venn0001.svg für und).

Venn1001.svg
Das Bikonditional zweier Aussagen
ist die Negation des exklusiven Oder:

~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B) Venn1001.svg \Leftrightarrow \neg Venn0110.svg
 
Venn 0110 1001.svg
Bikonditional dreier Aussagen
und exklusives Oder dreier Aussagen
haben das gleiche Resultat:

~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow
~A\oplus B\oplus C

Venn 1001 1001.svg \leftrightarrow Venn 0000 1111.svg ~~\Leftrightarrow ~~ Venn 0110 0110.svg \oplus Venn 0000 1111.svg ~~\Leftrightarrow ~~ Venn 0110 1001.svg
 
Venn 1000 0001.svg
Allerdings kann
~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C
auch als Abkürzung für
(A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)
gemeint sein:

Venn 1001 1001.svg \land Venn 1100 0011.svg ~~\Leftrightarrow ~~ Venn 1000 0001.svg

Einzelnachweise

  1. beide Beispiele entnommen aus Wesley C. Salmon: Logik, Stuttgart: Reclam 1983, ISBN 3-15-007996-9, Seite 81
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.02. 2021