Strömungslehre

Die Strömungslehre oder auch Strömungsmechanik oder Fluidmechanik ist die Lehre des physikalischen Verhaltens von Fluiden.
Die Gesetzmäßigkeiten der Strömungslehre dienen zur Gewinnung von Kenntnissen über Strömungsvorgänge sowie zur Berechnung und Auslegung von durch- bzw. umströmten Bauteilen. Sie ist wichtig im Apperate- und Maschinenbau und findet ihre Grundlagen auch in der Kontinuumsmechanik, also der klassischen Physik. Die Strömungsmechanik basiert auf der Kontinuumsmechanik, Physik und Differentialrechnung deren historischer Werdegang dort nachgeschlagen werden kann. An dieser Stelle soll die spezifisch strömungsmechanische Entwicklung skizziert werden.

Da bei technischen Anwendungen Wasser die wichtigste Rolle spielt, wird die Mechanik der Flüssigkeiten als Hydromechanik bezeichnet. Bei Gasströmungen spielt die Luft die wichtigste Rolle, was zur bezeichnung Aeromechanik führt. Die Strömungslehre wird in mehrere Fachgebiete unterteilt, die sich mit verschiedenen Teilaspekten von Fluiden auseinandersetzen:

Teilgebiete

Fluiddynamik

Hauptartikel: Fluiddynamik
Stokes’sche Welle mit Bahnlinien (türkis) einiger Wasserteilchen.

Die Fluiddynamik ist das Teilgebiet, das sich mit bewegten Fluiden beschäftigt. Analytische Lösungen können hier nur durch Beschränkung auf eine oder zwei Dimensionen, auf Inkompressibilität, einfache Randbedingungen und auf kleine Reynolds-Zahlen erreicht werden, wo die Beschleunigungsterme gegenüber den Viskositätstermen vernachlässigt werden können. Zwar sind solche Lösungen praktisch wenig relevant, vertiefen jedoch trotzdem das Verständnis von Strömungsvorgängen.

Bei kleinen Reynoldszahlen vermag die Viskosität des Fluids kleine Fluktuationen der Strömungsvariablen zu dämpfen, so dass eine eventuell auch zeitabhängige, laminare Strömung dann stabil gegenüber kleinen Störungen ist. Mit zunehmender Reynolds-Zahl wird dieser Dämpfungsmechanismus überfordert und die laminare Strömung geht in eine irreguläre turbulente Strömung über. Die Turbulenzforschung erreicht Einsichten über solche Strömungen durch statistische Betrachtungen.

Bei großen Reynoldszahlen sind umgekehrt die Viskositätsterme gegenüber den Beschleunigungstermen klein und der Einfluss der Randbedingungen auf die Strömung ist auf wandnahe Bereiche beschränkt. Mit diesen beschäftigt sich die von Ludwig Prandtl begründete Grenzschichttheorie.

Die Aerodynamik untersucht das Verhalten von Körpern in kompressiblen Fluiden (zum Beispiel Luft) und ermittelt Kräfte und Momente, die auf umströmte Körper wirken. Zur Aerodynamik gehört die Vorhersage der Windkräfte auf Gebäude, Kraftfahrzeuge und Schiffe.

Das Wissensgebiet um die Wellenbewegungen in Fluiden befasst sich mit zeitlichen und räumlichen Bewegungen eines Fluids um eine mittlere Ruhelage. Die Aeroakustik beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten solcher Wellen – Schallwellen – in der Luft. Die Hydromechanik unterscheidet u.a. die Schwerewellen, die höheren Stokes-Wellen, siehe Bild, die kleinen Kapillarwellen und die aperiodischen Solitonen. In der Fluiddynamik werden die Ursachen, Eigenschaften und die Grundgleichungen dieser Wellenbewegungen untersucht.

Mehrphasenströmungen mit festen, flüssigen und/oder gasförmigen Anteilen sind die in der Natur und Technik am häufigsten auftretenden Strömungsformen und bekommen dadurch eine besondere Relevanz. Die Mischung kann einerseits bereits im Kontinuumsmodell dargestellt werden, so dass die Mischung in jedem Fluidelement vorliegt, was Vorteile bei der Betrachtung großskaliger Bewegungen hat. Andererseits kann die Strömung jeder Phase getrennt beschrieben werden und die Gesamtströmung ergibt sich dann aus der Interaktion der Phasen an ihren Grenzflächen. Hier stehen kleinskalige Effekte im Vordergrund.

Sickerströmungen durch poröse Medien sind in der Hydrogeologie und der Filtertechnik von Interesse. Die Oberflächenspannung, die sonst bei Strömungen von untergeordneter Bedeutung ist, ist hier für die Bewegung bestimmend. Weil der Porenverlauf der festen Phase unbekannt ist, kommen Modelle zum Einsatz, die in die Richards-Gleichung münden.

Methodik

Gegenstand der Strömungsmechanik sind die Bewegungen von Fluiden, ruhenden, fließenden oder strömenden Medien. Die Suche nach Gesetzmäßigkeiten von Bewegungen und Lösungen für Strömungsprobleme bedient sich dreierlei Methoden:

Analytische Methoden 
Gesetzmäßigkeiten werden in Form von Gleichungen formuliert, die mit Hilfe der angewandten Mathematik behandelt werden können.
Experimentelle Methoden 
Die Phänomenologie der Strömungsvorgänge wird erkundet mit dem Ziel Gesetzmäßigkeiten heraus zu finden.
Numerische Methoden 
Durch einen detaillierten Einblick auch in komplizierte und kurzweilige Strömungsvorgänge unterstützen und ergänzen die Berechnungen die analytischen und experimentellen Methoden.

Die Komplexität des Gegenstandes macht die kombinierte Nutzung aller drei Methoden für die Lösung praktischer Strömungsprobleme notwendig.

Kontinuumsmechanische Grundlagen

Strömungen können aus den Augen der statistischen Mechanik als Patikelströme oder als Kontinuumsströmungen betrachtet werden. Letzterer Ansatz kommt aus der Kontinuumsmechanik, in der vom molekularen Aufbau der Fluide abgesehen wird und sie als Kontinuum angenähert werden, in dem die physikalischen Eigenschaften kontinuierlich über den Raum verschmiert sind. Dieser phänomenologische Ansatz erlaubt effizient realitätsnahe Vorhersagen zu formulieren. Die für die Strömungsmechanik relevanten kinematischen, physikalischen und konstitutiven kontinuumsmechanischen Gleichungen werden im Folgenden zusammengefasst.

Kinematik

Die Strömungsmechanik benutzt die eulersche Betrachtungsweise, die die an einem festen Raumpunkt vorhandenen physikalischen Größen untersucht. Weil sich die physikalischen Gesetze auf materielle Punkte (hier: Fluidelemente) und nicht auf Raumpunkte beziehen, muss bei der Zeitableitung die substantielle Ableitung benutzt werden. Diese besteht aus einem lokalen und einem konvektiven Anteil:

\dot f
:=\frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t}
:=\frac{\partial f}{\partial t}+\operatorname{grad}(f)\cdot\vec v
=\frac{\partial f}{\partial t}+(f\cdot\nabla)\vec{v}
\,.

Das vom Fluid transportierte Feld f kann skalar- oder vektorwertig sein und hängt wie die Geschwindigkeit vom Ort und der Zeit ab. Die partielle Ableitung \tfrac{\partial f}{\partial t} ist die lokale Ableitung, d.h. die an einem festen Raumpunkt zu beobachtende Änderungsgeschwindigkeit, und der zweite Term mit dem Gradienten grad oder dem Nabla-Operator \nabla ist der konvektive Anteil. Im Fall einer vektoriellen Größe \vec f wird in der Strömungsmechanik die Schreibweise mit dem Vektorgradient (\vec{f}\cdot\nabla)\vec{v} bevorzugt.

In der Strömungsmechanik ist die Geschwindigkeit \vec v die primäre Unbekannte und ihr Gradient, der Geschwindigkeitsgradient

\mathbf{l}:=\operatorname{grad}\vec v
=\begin{pmatrix}
\frac{\partial v_x}{\partial x}& \frac{\partial v_x}{\partial y}& \frac{\partial v_x}{\partial z}
\\
\frac{\partial v_y}{\partial x}& \frac{\partial v_y}{\partial y}& \frac{\partial v_y}{\partial z}
\\
\frac{\partial v_z}{\partial x}& \frac{\partial v_z}{\partial y}& \frac{\partial v_z}{\partial z}
\end{pmatrix}

ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung von Strömungsvorgängen. Die Geschwindigkeitskomponenten v_{x,y,z} beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten. Für ein Fluidelement mit (infinitesimal) kleinem Volumen dv ergibt sich die Volumenänderungsgeschwindigkeit

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathrm{d}v)
=\operatorname{Sp}(\mathbf{l})\,\mathrm{d}v
\,.

Die Spur Sp des Geschwindigkeitsgradienten ist somit ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit, die auf Grund der Massenbilanz unten mit einer Dichteänderung einher geht. Die Spur ist gleich der Divergenz div des Geschwindigkeitsfeldes: \operatorname{Sp}(\mathbf{l})=\operatorname{div}(\vec v)\,. Der Geschwindigkeitsgradient kann additiv in einen symmetrischen Anteil d und einen schiefsymmetrischen Anteil w zerlegt werden:


\mathbf{l}=\mathbf{d+w}
\quad\text{mit}\quad
\mathbf{d}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l+l}^\top)
\quad\text{und}\quad
\mathbf{w}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l-l}^\top)\,.

Das Superskript \top bezeichnet die Transposition. Der symmetrische Anteil d ist der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, mit dem sich mit

\dot{\varepsilon}_{1}:=\hat{e}_1\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_1
\quad\text{und}\quad
\dot{\gamma}_{12}:=2\hat{e}_1\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_2

die Dehnungsgeschwindigkeit \dot{\varepsilon}_{1} in \hat{e}_1-Richtung und die Schergeschwindigkeit \dot{\gamma}_{12} in der 1-2-Ebene berechnet, die von zueinander senkrechten Einheitsvektoren (mit der Länge eins) \hat{e}_{1,2} aufgespannt wird. Der schiefsymmetrische Anteil w ist der Wirbeltensor, dem über

\mathbf{w}\cdot\vec u =: \vec\Omega\times\vec u \quad\forall\vec u

ein Vektor \vec\Omega zugeordnet werden kann, der im Fall des Wirbeltensors Winkelgeschwindigkeit genannt wird und die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst angibt. Nach obiger Definition berechnet sich

\vec\Omega=\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v\,.

Die Rotation rot des Geschwindigkeitsfeldes wird als Wirbelstärke oder Wirbelvektor bezeichnet:

\vec\omega:=\operatorname{rot}\vec v=2\vec\Omega\,.

Gelegentlich wird auch \vec\omega=\tfrac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v definiert, was keinen wesentlichen Unterschied ausmacht.

Naturgesetze

Die Kontinuumsmechanik formuliert die folgenden, an jedem Fluidelement geltenden Naturgesetze:

  1. Massenbilanz: \frac{\partial}{\partial t}\rho +\operatorname{div}(\rho \vec{v})
= \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}(\rho)\cdot \vec{v}
+ \rho\,\operatorname{div}(\vec{v})
= \dot{\rho} + \rho \operatorname{div}(\vec{v})
=0
  2. Impulsbilanz: \rho\dot{\vec v}
=\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\right]
=\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right]
=\rho\,\vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})
\,, und
  3. Energiebilanz: \dot{u}=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}
-\frac{1}{\rho}\operatorname{div}\;\vec{q}+r\,.

Darin sind ρ die Dichte, \vec{k} eine Schwerebeschleunigung, \boldsymbol{\sigma} der Cauchy’sche Spannungstensor, u die innere Energie, \vec{q} der Wärmestrom, r innere Wärmequellen z.B. aus Phasenübergängen, „\cdot“ das Frobenius-Skalarprodukt von Vektoren und „:“ dasjenige von Tensoren. Die Drehimpulsbilanz reduziert sich auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors (\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}^\top)\,.

Materialmodelle

Abgeschlossen wird das System aus kinematischen und Bilanzgleichungen durch ein Materialmodell des Fluids, das den Spannungstensor in Abhängigkeit von dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der Dichte oder weiteren Konstitutivvariablen spezifiziert. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose oder newtonsche Fluid

\boldsymbol{\sigma}
=-p(\rho)\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}+\lambda \operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{I}

ist das, in der Strömungsmechanik hauptsächlich benutzte Materialmodell. Darin sind p der im Allgemeinen von der Dichte ρ abhängige Druck, λ und μ die ersten und zweiten Lamé Konstanten und I der Einheitstensor. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist im Allgemeinen voll besetzt und dann treten geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen auf, die sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. In Kombination mit der Impulsbilanz liefert dieses Modell die Navier-Stokes-Gleichungen. Weil der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor objektiv sind (siehe Euklidische Transformation), sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einer Drehung des Bezugssystems.

Im wichtigen Sonderfall der Inkompressibilität, die bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Fluid in guter Näherung angenommen werden kann, vereinfacht sich diese Gleichung zu

\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}

und der Druck p ergibt sich nicht mehr aus einer konstitutiven Beziehung sondern allein aus den Randbedingungen und der Impulsbilanz. Bei großen Reynoldszahlen oder abseits von Grenzschichten können die viskosen Anteile vernachlässigt werden:

\boldsymbol{\sigma}=-p(\rho)\mathbf{I}\,.

Ein Fluid mit diesem Spannungstensor gehorcht den Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik. Wenn der Druck hier als Zustandsgleichung gegeben ist, dann ist das Fluid Cauchy-elastisch und konservativ, Kompressionsarbeit in ihm jedenfalls reversibel.

Neben diesen klassischen Materialmodellen betrachtet die Strömungsmechanik auch jedes andere fließende Material, unter anderem Plasma, nicht-newtonsche Fluide oder plastische Materialien bei hohen Belastungen, wo die elastische Deformation gegenüber der plastischen vernachlässigt werden kann.


 
Seite zurück
©  biancahoegel.de; 
Datum der letzten Änderung : Jena, den: 11.10. 2016